Вітаємо Вас

на сайті кафедри математичної фізики

фізико-математичного факультету

 

Завідувач кафедри доктор фізико-математичних наук професор Івасишен Степан Дмитрович

 

Кафедра математичної фізики забезпечує викладання математичних дисциплін на дев'яти факультетах та у двох інститутах НТТУ «КПІ». З метою забезпечення високої якості навчального процесу підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів інженерних і математичних спеціальностей на кафедрі математичної фізики створено десять спеціалізованих секцій, які обслуговують:

• Фізико-математичний факультет
• Приладо-будівний факультет
• Механіко-машинобудівний інститут
• Інженерно-хімічний факультет
• Хіміко-технологічний факультет
• Факультет біотехнології
• Інженерно-фізичний факультет
• Зварювальний факультет
• Видавничо-поліграфічний інститут
• Факультет соціології та права
• Факультет лінгвістики.

Наукова діяльність кафедри охоплює дослідження фундаментальних і прикладних проблем у розвитку математичної теорії та конструктивних методів розв'язування актуальних задач інженерноі практики, зокрема і з використанням потужних можливостей новітнього математично-комп'ютерного інструментарію. До основних напрямків фундаментальних наукових досліджень на кафедрі належать:

• побудова,  дослідження та важливі теоретичні застосування  матриць Гріна крайових задач і фундаментальних розв’язків задачі Коші для широких класів параболічних рівнянь і систем рівнянь як регулярних, так і з різними виродженнями та особливостями;
• розвиток теорії розв’язуючих операторів та побудова методів і алгоритмів асимптотично-розв"язуючих операторів для розв’язування задач прогнозування і оптимізації складних керованих процесів і систем, зокрема:  для побудови і оптимізації граф-операторних моделей складних керованих та ієрархічно-керованих систем; для оптимізації стратегій керування в умовах неповних даних; для побудови і оптимізації чисельно-аналітичних методів підвищеної точності в задачах прогнозування фазових траєкторій керованих систем та узагальнених крайових задачах математичної фізики, а також і для побудови екстремальних стратегій в диференціальних іграх та конфліктно-керованих системах;
• розвиток теорії солітонів і теорії нелінійної динаміки магнітних неоднорідностей в магнітовпорядкованих кристалах в зовнішніх осцилюючих полях різної фізичної природи; передбачення дрейфу двофазних доменних структур, що реалізовуються при спін-орієнтаційних фазових переходах 1-го роду, в зовнішніх полях; теоретичне обгрунтування можливостей структурних фазових перетворень у впорядкованих гратках циліндричних магнітних доменів; побудова теорії просторової стабільності магнітних доменів в суміжних шарах багатошарових плівок із різними структурними особливостями;
• розвиток теорії детермінованого хаосу та дослідження процесів детермінованого хаосу у неідеальних динамічних системах і системах із обмеженим збудженням; виявлення та дослідження нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу у динамічних системах; опис і классифікація нових типів атракторів та низки нових ефектів динамічної стабілізації маятникових систем, пов’язаних із впливом факторів запізнювання.

Аспірантура.

Програми вступних екзаменів до аспірантури

1. Математичний аналіз

1. Функції однієї змінної: границя функції в точці; дослідження локальної поведінки функції; неперервні функції та їх основні властивості. Обернена функція та умови її існування.
2. Похідна та її застосування: означення та правила обчислення похідних; теореми про функції, що мають похідну; диференціал функції, похідні та диференціали старших порядків; формула Тейлора; дослідження функцій на екстремум.
3. Невизначений інтеграл: означення, властивості та методи інтегрування.
4. Визначений інтеграл: означення, основні властивості.
5. Числові ряди: означення збіжності; критерій Коші; критерій та ознаки збіжності рядів з невід’ємними членами; абсолютно і умовно збіжні ряди.
6. Функціональні ряди: означення, критерій та ознаки рівномірної збіжності; властивості рівномірно збіжних рядів, почленне диференціювання та інтегрування; степеневі ряди та їх основні властивості; розвинення елементарних функцій у степеневі ряди.
7. Функції кількох змінних: границя в точці; неперервність; властивості неперервних функцій на компактах; частинні похідні; диференційовність; формула Тейлора; дослідження на екстремум; градієнт, похідна за напрямом; теорема про існування неявної функції.
8. Невласні інтеграли: означення, властивості, ознаки збіжності; властивості функцій, що визначаються невласними інтегралами. Інтеграли, що залежать від параметра: неперервність, диференціювання та інтегрування за параметром.
9. Кратні інтеграли: означення, властивості, обчислення; невласні кратні інтеграли.
10. Криволінійні та поверхневі інтеграли: означення, властивості, обчислення; формули Гріна, Гауса-Остроградського і Стокса.
11. Ряди та інтеграл Фур’є : означення, властивості рядів Фур’є відносно ортонормованих систем функцій; ознаки збіжності тригонометричних рядів Фур’є; розвинення функцій в тригонометричні ряди Фур’є; перетворення Фур’є.

2. Алгебра

1. Означення групи, підгрупи, кільця і поля. Приклади. Поняття фактор-групи.
2. Лінійні простори: означення, лінійна незалежність, базис, розмірність; евклідові та унітарні скінченновимірні простори; приклади.
3. Лінійні оператори в скінченновимірних просторах: означення, матричний опис; ядро та образ, ранг і дефект; простір лінійних операторів.
4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь: необхідна та достатня умова розв’язності (теорема Кронекера-Капеллі); теорема про структуру розв’язків. Формула для обчислення оберненої матриці.
5. Канонічна форма матриці лінійного оператора: жорданова форма матриці; знаходження функцій від оператора; теорема Гамільтона-Келі.
6. Спектральна теорія самоспряжених операторів: білінійна та квадратична форми оператора; теорема про існування спряженого оператора; самоспряжений оператор; матриці спряженого та самоспряженого операторів; власні числа та власні елементи самоспряженого оператора, їх властивості; спектральне зображення самоспряженого оператора; зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

3. Функціональний аналіз та інтегральні рівняння

1. Міра множин: означення та властивості; міра Лебега на прямій і в просторі
2. Вимірні функції: означення, основні властивості.
3. Інтеграл Лебега: означення, основні властивості; теореми про граничний перехід під знаком інтеграла; простори
4. Метричні простори: означення, приклади, повнота, сепарабельність; принцип нерухомої точки та його застосування.
5. Банахові та гільбертові простори: означення, приклади, властивості норми і скалярного добутку.
6. Лінійні неперервні функціонали та оператори: означення, властивості, норма; обернені оператори.
7. Компактні множини та компактні оператори в банахових просторах: означення, властивості; теореми Фредгольма для операторних рівнянь

2-го роду з компактними операторами.

1. Резольвента та спектр оператора: означення, властивості, спектр компактних і самоспряжених операторів.
2. Лінійні інтегральні рівняння: метод послідовних наближень для рівнянь Вольтерри й Фредгольма; теореми Фредгольма; теорема Гільберта-Шмідта для рівнянь із симетричним ядром.
3. Узагальнені функції: означення, приклади; диференціювання; перетворення Фур’є.

4. Аналітичні функції комплексної змінної

1. Означення та приклади аналітичних функцій.
2. Інтегральна теорема та формула Коші.
3. Розвинення аналітичної функції в ряд Тейлора.
4. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Класифікація особливих точок.
5. Лишки: означення; основна теорема; обчислення інтегралів з допомогою лишків.

5. Звичайні диференціальні рівняння

1. Основні поняття та означення  теорії диференціальних рівнянь: порядок, розв’язок, загальний і частинний розв’язки, загальний інтеграл, інтегральна крива; розв’язність у квадратурах основних типів рівнянь першого порядку.
2. Теорема про існування та єдиність розв’язків задачі Коші для рівнянь та систем рівнянь. Особливі точки та особливі розв’язки диференціальних рівнянь.
3. Лінійні диференціальні рівняння: структура загального розв’язку; знаходження розв’язків лінійних рівнянь та систем зі сталими коефіцієнтами; методи знаходження частинних розв’язків неоднорідних рівнянь та систем.
4. Стійкість розв’язків системи нелінійних рівнянь: означення; метод функцій Ляпунова; дослідження на стійкість за першим наближенням.
5. Крайові задачі для лінійних рівнянь: теореми існування; інтегральне зображення розв’язку за допомогою функцій Гріна; власні числа та власні функції крайових задач для рівнянь Штурма-Ліувілля.
6. Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку: побудова загального розв’язку; розв’язність задачі Коші.

 

6. Рівняння з частинними похідними

1. Класифікація і зведення до канонічної форми рівнянь із частинними похідними 2-го порядку.
2. Основні задачі для рівнянь математичної фізики: задача Коші; крайові задачі; мішані (початково-крайові) задачі; поняття про коректність; приклад Адамара.
3. Задача Коші та мішані задачі для рівнянь гіперболічного типу: розв’язування задачі Коші для гіперболічних рівнянь методом характеристик; формула Кірхгофа; методи розв’язування мішаних задач; загальна схема методу Фур’є розв’язування мішаних задач для гіперболічних рівнянь.
4. Гармонічні функції: означення, принцип максимуму та його застосування до доведення єдиності розв’язку задачі Діріхле; розв’язування задач Діріхле та Неймана для рівняння Лапласа методом потенціалів.
5. Параболічні рівняння 2-го порядку: принцип максимуму та його застосування до доведення єдиності розв’язків задачі Коші та Діріхле; розв’язування задачі Коші; інтеграл Пуассона; методи розв’язування мішаних задач.
6. Узагальнені розв’язки лінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними: означення; фундаментальні розв’язки; застосування узагальнених функцій до дослідження лінійних рівнянь.

Література

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и ВУЗов.– Том 1 и 2.–М.:Высш. школа, 1981.
2. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1 і 2.–К.: Либідь, 1993–1994.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.–М.: Наука, 1974.
4. Завало С.Т. Курс алгебри.–К.: Вища шк., 1985.
5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа: Учеб. пособие.–М.: Высш. шк., 1982.
6. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г.Функциональний анализ. Курс лекций: Учеб. пособие.–К.: Высш. шк., 1990.
7. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А.Введение в теорию аналитических функций.–М.: Просвещение, 1977.
8. Степанов В.В. Курс диференціальних рівнянь.–К.: Радянська шк., 1953.
9. Ляшко І.І., Боярчук О.К., Гай Я.Г. Калайда О.Ф. Диференціальні рівняння.–К.:Вища шк., 1981.
10. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння: Підручник.–2-ге вид., перероб. і доп.–К.: Либідь, 2003.
11. Івасишен С.Д. Лавренчук В.П., Настасієв П.П., Дрінь І.І. Диференціальні рівняння: Методи та застосування: навч. посібник.–Чернівці, 2010.
12. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.–М.: Наука, 1988.
13. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.–М.: Физматгиз, 1961.
14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.–М.: Наука, 1977.